物事をざっくり捉えて全体と変化の流れを読み解く微分積分とは?

物事をざっくり捉えて全体と変化の流れを読み解く微分積分とは?
▼読んだ本は?
■「超」入門 微分積分 学校では教えてくれない「考え方のコツ」
■神永正博さん
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▼そもそも関数とは?
■一定の法則に基づいて特定の数値「x」を決めると、関連して算出される数値「y」を関数と呼ぶ(yはxの関数である)
■具体的な式で表すと「y=x」「y=x²」などの形で表される
■関数は「直線/曲線/山型/谷型」などを持つグラフで表される
▼微分と積分を考える上で重要なことは?
■近似
└正確な数値ではなく、近い値(近似値)を導き出せたらそれでよしとすること

■無視
└計算して算出される数値に関して、その数値が小さければとりあえずその値を無視すること

■近似/無視を行うことで、結果として「関数」として何かしらグラフ化した法則が導き出せるから

▼積分とは?
■単純な四角形のみではなく、複雑な図形に関して、その全部を足した「長さ/面積/体積」などを図るための方法
■積分の方法は以下
【1】複雑な図形も、単純な長方形や直方体にスライスして切り分てみる
【2】切り分けた単純な図形の面積の合計を足し合わせることで、最終的な図形の大きさを図る
▼スライスで計算する具体的な例ってなに?
■三角形
└底辺を1辺とする長方形を半分にスライスしたものを三角形として求める
└底辺×高さ÷2

■台形の面積
└平行四辺形を半分にスライスしたもの台形として求める
└(上底+下底)×高さ÷2

■楕円の面積
└通常の円の面積に加え、楕円として横に延びた半径分を足して楕円を求める
└(半径×半径×円周率)×(通常の半径÷延びた半径)

■四角錐(底面が円、頂点が三角の形をした立体)の体積
└立方体の体積を3つにスライスものの1つが四角錐の面積という形で求める
└底面積×高さ×1/3

▼積分で使われる記号は?
■Δ=デルタ
└元々の値から変化した違い(difference)を表す記号。なおΔは近似値レベルでの違いを表す

■d
└元々の値から変化した違い(difference)を表す記号。なおΔは正確な値(真の値)レベルでの違いを表す

■∫=インテグラル
└複雑な図形をものすごく細い長方形の糸のようなイメージでスライスし、そのスライスした糸の長さを合計した値を表す

▼積分でよく使われる公式とは?
【1】カヴァエリの法則
■スライスした切り口の面積が常に等しい2つの立体図形があった場合、その2つの体積は等しい
└同様に、切り口の長さが常に等しい2つの平面図形の面積は等しいとも言える

■カヴァエリの法則を具体的なものでイメージすると、例えば100枚のトランプについて、
1.上下左右がぴったり揃って重なっている場合
2.上下左右がばらばらにずれて重なっている場合
の2つがあっても、全部のトランプを足した時の体積は等しくなるようなイメージ

【2】三平方の定理
■直角三角形において直角を挟む2辺の長さをA・Bとし、斜辺をCとすると以下公式が成り立つ
└「c²=a²+b²」

▼微分とは?
■xに増減(Δx)が発生した時、結果としてyがどのように増減(Δy)するかを割合で表す方法

■正方形の土地面積「f(x)=x²」を事例とした場合の微分の計算の流れ
【1】1辺が「x」の正方形型の土地がある
【2】この正方形の面積は「x²」となる
【3】縦/横両方の土地の長さを「Δx」だけ増やしたら以下3つの面積が増える
└A:辺の長さが「x」と「Δx」の土地(xΔx)
└B:辺の長さが「Δx」と「x」の土地(Δxx)
└C:辺の長さが「Δx」と「Δx」の土地(Δx²)
【4】この中でCは増加分が少ないため「無視」し、AとBの面積のみが増えたことにする
【5】AとBのみが増える形とした場合、1辺が「Δx」増えた結果として、増加した土地面積は「2xΔx」増える
【6】1辺がΔx増えた場合の、面積の増加割合を算出すると「2xΔx÷Δx=2x」となる
【7】この、ちょっと無視しつつ増えた割合「2x」を微分と呼ぶ
【8】微分の数式上の書き方としては「(x²)’ = 2x」
└数式内の’は()内部を微分するという意味を持つ

■立方体を事例とした場合の微分の計算方法
【1】1辺が「x」の立方体がある
【2】この立方体の面積は「x³」となる
【3】立方体の1辺の長さを「Δx」だけ増やしたら以下3つの体積が増える
└A:底辺の長さが「x」、厚みが「Δx」の立方体×3(x²Δx)
└B:底辺の長さが「Δx」、厚みが「x」の立方体×3(Δxx²)
└C:底辺の長さが「Δx」、厚みが「Δx」の土地×1(Δx³)
【4】この中でB/Cは増加分が少ないため無視し、Aの体積のみが増えたことにする
【5】Aのみが増える形とした場合、1辺が「Δx」増えた結果として、増加した体積は「3(x²Δx)」増える
【6】1辺がΔx増えた場合の、体積の増加割合を算出すると「3(x²Δx)/Δx=3(x²)」となる
【7】この、ちょっと無視しつつ増えた割合「3(x²)」を微分と呼ぶ
【8】微分の数式上の書き方としては「(x³)’ = 3x²」
└数式内の’は()内部を微分するという意味を持つ

▼微分に関する公式とその利用方法とは?
■積の微分公式
└(fg)’ = f’g+fg’
└一辺が「f」、もう一辺が「g」であるものを掛け算した時の微分(変化率)を表したもの

■商の微分公式
(f/g)’ = (f’g-fg’)/g²

■積の微分公式を利用して(x4)’を解く場合
【1】(x4)’を(x³x)’の微分を求める形に分解する
【2】微分すると「(x³)’=3x²」であることはわかっているため
【3】積の微分公式に上記を当てはめると「(x³)’x = 3x³*x + x³*1」となる
【4】式を紐解くと「3x³+x³」となる
【5】(x4)’の変化率となる微分は「3x³+x³」である

▼べき乗の微分公式とは?
■(xn)’ = (nx)n-1
└「x」をn乗(2乗/3乗…)した場合のyの変化率を示す微分は、nとxを掛け合わせ、それらを「n-1乗」したものとなる
▼関数のグラフにおける傾きと微分の関係とは?
■微分とはxが変化した時のyの変化率を示す
■言い換えれば、関数グラフにおける傾き具合を示したものといえる
▼関数グラフを要約するための増減表とは?
■関数グラフには大きく「直線」「山」「谷」「踊り場(一定期間直線に近いような場所)」の4つの傾きがある
■これらのグラフの傾きを要約して書いた表を関数の「増減表」と呼ぶ
【1】1行目に「x」が取る範囲を書く→「例えば、xは-1から1の間など」
【2】2行目に関数そのものを書く→「例えば、f(x)など」
【3】3行目にxが特定の値の時のyの値とその変化の増減方向を書く→「例えば、xが-1の時yは-7となり、変化の増減方向はプラス側に増加しているなど」
【4】これら増減表の各点を線でつないでいくと、関数のグラフができあがる
▼微分積分学の基本定理とは?
■微分と積分は逆の操作である

【1】例えば「円の面積」を微分すると、「円周の長さ」になる
1.半径rの面積:πr²
2.関数「S(r)=πr²」とし微分する:2πr(これは半径rの円周の長さと同じ)
※なぜなら「円を微分する」=「円を薄いリングにスライスする操作」を意味するため

【2】例えば「球の体積」を微分すると、「球の表面積」になる
1.半径rの球の体積:3/4πr³
2.関数「V(r)=3/4πr³」とし微分する:4πr²(これは半径rの表面積の大きさと同じ)

思ったこと

デジタルマーケを学んでいると、ディープ・ラーニングをはじめ必ずぶつかる微分積分について、積分とはある図形を限りなく細い線に分解して最終的な全体像を求めるもの、その反対に微分とはある1つの数字が増減した時に、関連する値がどのように変化するのかその変化率を求めるものという形で、その考え方がまとめられています。

通常学ぶ「微分から積分」という順番ではなく、足し算のように合計値を導き出していく積分から学べる形になっています。またその伝え方に関しても、中学生の時に習った三角形の公式も実は積分の一つなんだぜっていう、数学アレルギーが強烈に強い自分にも取っ掛かりとして入りやすい形で書かれています。

積分を通して世の中に存在するものの大きさを目に見える数値で表したり、微分を用いることで関数というグラフ化できる形に落とし込むことで、一見つながりのない複数の物事の間に関連性を見つけ出そうという考え方は、目には見えないけれど奥底に存在する物事の原理原則を、目に見えるものに変えていく過程なのかもしれません。

そして一見、完全に精緻な数値を導き出すべき、そうでなければすべて間違いと思ってしまっていた数学において、微分積分での大枠の概要を理解するために、近似値を求めかつ小さい値を無視するという姿勢は、なんか現実に沿っていて僕みたいなざっくり物事を判斷してしまう人間にもしっくりくる価値観でした。

と言いつつ、結局一番大事な微分積分学の基本定理はあんまりよくわかんないす。ああ今更ながら、やっぱ高校行っとけばよかった。。

ありがとうございました!

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